Задача 1

Точките M и N лежат на страната AB на триъгълник ABC така, че AM=BN. Перпендикулярите към AB през M и N пресичат някоя от другите две страни на триъгълника съответно в точките F и G. Намерете възможно най-голямото лице на четириъгълника MNGF, ако AB=11,75 см, а градусните мерки на ъглите ВАС и ABC са съответно 72° и 35°.

Задача 2

Ъглите при върховете B и D на делтоид ABCD са прави. Окръжността с център А с радиус AB пресича диагонала AC в точка К. Допирателната към окръжността в точка K пресича страните CD и CB съответно в точки L и V. Ако Н е пресечната точка на диагоналите и лицата на триъгълниците АBD и НVL се отнасят както 4:3, намерете градусната мярка на ъгъл BCD.

Задача 3

Намерете абсцисата на пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник ABC с координати на върховете A(0,8;0,9), B(11,9;3,5), C(3,4;8,2)

Задача 4

В чаша с форма на конус с диаметър на основата 20,8 см и височина 24 см има 60 милилитра вода. Колко милилитра вода още трябва да се налеят, за да се увеличи височината на водния слой с 10 сантиметра?

Задача 5

Намерете най-големия корен на уравнението 7x⁴ - 85,6x³ - 184x² - 36,8x + 3 = 0 .

Задача 6

За коя целочислена стойност на параметъра a уравнението (0,8x - a)² - |(a³ - 5a² + a - 5)x| + 0,5 = 0 няма реални корени.

Задача 7

Дължината на страната на квадрат ABCD е 15 см. Точките E и F лежат съответно на страните DC и BC, като DE = BF = k см, а точките G и H лежат съответно на отсечките CE и CF, като EG = FH = 1,2 см. Да се намери стойността на k, за която лицето на оцветената фигура на чертежа е равно на 22 кв. см.

Задача 8

От правоъгълно парче трябва да се изрежат два кръга и един правоъгълник, от които да се сглоби цилиндър с максимален обем. Във връзка със структурата на материала, изрязването на правоъгълника може да става само по линии, успоредни на страните на даденото правоъгълно парче. Запишете обема на така получения цилиндър в куб. дм, ако правоъгълното парче e с размери:
а) 17,7 дм и 17,7 дм

б) 11,8 дм и 8,1 дм

в) 21 дм и 16,25 дм.