Задача 1

За двете различни положителни числа a и b е известно, че са по-големи от 26 и по-малки от 400. Известно е още, че са делители на числото 2025. На колко е равна най-голямата възможна сума a + b на тези числа?

Задача 2

Сумата на две цели положителни числа a и b, а < b, е 30, а сумата от третите им степени е 7110. Пресметнете и запишете като отговор стойността на израза
3a² + b²

Задача 3

Изпълнението на командата floor(a) в системата Геогебра дава като резултат най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на числото a. Пресметнете с точност до стотните и запишете като отговор стойността на израза

Задача 4

Пресметнете с точност до стотните стойността на израза

Задача 5

Когато ъгълът α се мени от 0 до 360 градуса, точката A(5 sin⁡ α, 5 cos⁡ α) описва окръжност с център в точка О(0,0) и радиус 5. Дадена е и точка В(3,3). Върху отсечката АВ е избрана такава точка С, че дължината на отсечката СВ е |sin α|. Коя от следните фигури най-много прилича на кривата, описана от точка С, когато ъгълът α се мени от 0 до 360 градуса?

Задача 6

Дадени са две взаимно перпендикулярни отсечки OA и OB, всяка с дължина 1 см. По случаен начин от OA е избрана точка M, а от OB – точка N. Каква е вероятността дължината на отсечката MN да е по-малка от ?

Задача 7

Окръжност с радиус 3 е описана около равнобедрен триъгълник. Известно е, че дължината на бедрото a на триъгълника се отнася към дължината на основата c както 2 : 1. На колко е равно лицето на равнобедрения триъгълник?

Задача 8

Даден е оцветен в синьо кръг с радиус 5 см и негова хорда с дължина, по-малка от 10 см. Хордата е диаметър на втори, по-малък, кръг (виж фигурата). Колко сантиметра е дължината на хордата, когато лицето на неоцветената част на втория кръг е най-голямо?

Задача 9

Положителните координати x и y на точка А удовлетворяват уравнeнието

Каква е най-голямата възможна стойност на израза xy?

Задача 10

Малък семеен хотел разполага с пет стаи с гледка към морето (с номера от 1 до 5) и две стаи без гледка към морето (с номера 6 и 7). Всяка стая е за точно едно семейство. В хотела пристига група от 7 семейства, които означаваме, за удобство, с буквите а, б, в, г, д, е и ж. Три от семействата (а, б, и в ) държат да бъдат настанени в стая с гледка, а семейство ж държи да бъде настанено в стая без гледка. По колко различни начина могат да бъдат настанени семействата?
(Две настанявания считаме за различни, ако поне едно от семействата при двете настанявания попада в различни стаи.)