Задача 1

За двете различни естествени числа a и b е известно, че са по-големи от 50 и по-малки от 1000. Известно е още, че са делители на числото 2028. На колко е равна най-малката възможна сума a + b на тези числа?

Задача 2

Сумата на две цели положителни числа a и b, а < b, е 30, а сумата от третите им степени е 7110. Пресметнете и запишете като отговор стойността на израза
a² + 2b²

Задача 3

Пресметнете с точност до стотните и запишете като отговор стойността на израза

Задача 4

Към две от срещуположните страни на квадрат е прикрепен по един полукръг, както е показано на рисунката. Известно е, че обиколката (периметърът) на получената фигура е 41 см. Колко квадратни сантиметра е лицето (площта) на фигурата?

Задача 5

Дадени са точка B(3,3) и точка A, която се движи по окръжност с център в О(0,0) и радиус 5. Върху лъча с начало В, минаващ през А, е избрана такава точка С, че дължината на отсечката СВ е равна на абсолютната стойност |х(А)| на първата координата на точка А.

Коя от следните фигури най-много прилича на кривата, описана от точка С, когато точка А обикаля по окръжността?

Задача 6

Дадени са две взаимно перпендикулярни отсечки OA и OB, всяка с дължина 1 см. Точка М е среда на отсечката ОА, а точка N е избрана по случаен начин точка от отсечката OВ. Каква е вероятността дължината на отсечката MN да е по-малка от ?

Задача 7

Колко кубически сантиметра е максималният възможен обем на цилиндър, вписан в сфера с радиус 5 см?

Задача 8

Даден е оцветен в синьо кръг с радиус 5 см и негова хорда с дължина, по-малка от 10 см. Хордата е диаметър на втори, по-малък кръг (виж фигурата). Колко квадратни сантиметра е най-голямото възможно лице на неоцветената част на втория кръг?

Задача 9

Точките А и В са от параболата y = x². Правата през тях се допира до окръжност с център в точка О(0,6 ;4) и радиус 1. Каква е най-малката възможна дължина на отсечката АВ?

Задача 10

Хотел разполага с пет свободни стаи, само три от които са с изглед към морето. Всяка стая е за точно едно семейство. В хотела пристига група от 5 семейства, които означаваме, за удобство, с буквите а, б, в, г и д. Две от семействата (а и б) държат да бъдат настанени в стая с изглед към морето, а семейство д държи да бъде настанено в стая без изглед към морето. По колко различни начина могат да бъдат настанени семействата? (Две настанявания считаме за различни, ако поне едно от семействата при двете настанявания попада в различни стаи.)