Задача 1

Ако k е естествено число, със символа k! (чете се „ка факториел“) се означава произведението на целите числа от 1 до k. Пресметнете сумата

Задача 2

ККое е най-малкото естествено число N, при което стойността на сбора след закръгляне до третия знак е една и съща за всяко n >= N?

Задача 3

Кое е най-голямото естествено число n между 1 и 2025, за което всяко от числата n, n+1, и n+2 е произведение на три различни прости числа?

Задача 4

Дадени са 5 последователни нечетни естествени числа. Известно е, че произведението на първото, третото и петото число е 8611845. На колко е равна сумата на останалите две числа?

Задача 5

Намерете сумата от корените на уравнението 5sin⁡x - 3cos⁡x = 0,5x² - 5x + 12,5.

Задача 6

Дадени са триъгълник с върхове в точките А(0;0), В(12;0) и С(2;5) и вписаната в него окръжност. Точка М е от окръжността. Каква е най-малката възможна стойност за сумата от дължините на отсечките МA, МВ и МС?

Задача 7

В помощния файл към тази задача са дадени елипса и лежаща вътре в нея окръжност с център в точка О и радиус r. От произволна точка А от елипсата прекарaйте двете допирателни към окръжността и намeрете пресечните им точки В и С с елипсата (виж фигурата). При коя стойност на радиуса r отсечката ВС се допира до окръжността?

Задача 8

За всеки триъгълник АВС (виж чертежа) пресечната точка Н на височините, пресечната точка G на медианите и пресечната точка О на симетралите на страните лежат на една права линия, наречена „Права на Ойлер“.

Ако върховете на триъгълника са в точките А(0;0), В(12;0) и С(2;5), кое от следните твърдения НЕ е вярно:

Задача 9

В помощния файл са дадени ъгъл с връх в точка О и рамене l и m, както и окръжност k, лежаща изцяло вътре в ъгъла. Отсечката АВ е допирателна към k и крайщата ѝ А и В са съответно върху раменете на ъгъла l и m . Какво е най-малкото възможно лице на триъгълника ОАВ?

Задача 10

Дадени са куб с основа в точките А=(0;0;0); В(3;0;0); С(3;-3;0) и D(0;-3;0), както и точките Р(3;0;2) и Q(0;-3;2) от ръбовете му. Пресметнете лицето на сечението на куба с равнината, съдържаща точките А, Р и Q.