Задача 1

Ако k е естествено число, със символа k! (чете се „ка факториел“) се означава произведението на целите числа от 1 до k. Пресметнете сумата

Задача 2

Дадени са 5 последователни естествени числа. Известно е, че произведението на първото, третото и петото число е 85008. На колко е равна сумата на останалите две числа?

Задача 3

Намерете сумата от корените на уравнението

Задача 4

Дадени са триъгълник с върхове в точките А(0;0), В(12;0) и С(2;5) и вписаната в него окръжност. Точка М е от окръжността. Каква е най- голямата възможна стойност за сумата от дължините на отсечките АМ и МВ?

Задача 5

В помощния файл е дадена окръжност k с център в точка О(0,0) и радиус R=6. Вътре в нея лежи по-малка окръжност k' с център в точка О‘ и радиус r. От произволна точка А от k прекарваме двете допирателни към k' и намираме пресечните им точки В и С с k (виж фигурата). При коя стойност на радиуса r отсечката ВС се допира до окръжността k'?

Задача 6

За всеки триъгълник АВС (виж чертежа) пресечната точка Н на височините, пресечната точка G на медианите и пресечната точка О на симетралите на страните лежат на една права линия, наречена „Права на Ойлер“.

Ако върховете на триъгълника са в точките А(0;0), В(12;0) и С(2;5), кое от следните твърдения НЕ е вярно:

Задача 7

Точка С(3;0) е среда на отсечка с краища А(0;0) и В(6;0). Намерете точка D, за която AD = 2BD и CD = 5.

Задача 8

В помощния файл са дадени ъгъл с връх в точка О и рамене l и m, както и окръжност k, лежаща изцяло вътре в ъгъла. Отсечката АВ е допирателна към k и краищата ѝ А и В са съответно върху раменете на ъгъла l и m . Какво е най-малкото възможно лице на триъгълника ОАВ?

Задача 9

Кое е най-голямото естествено число между 1 и 2025, което е произведение на четири различни прости числа?

Задача 10

Дадени са куб с основа в точките А=(0;0;0), В(3;0;0), С(3; -3;0) и D(0;-3;0), както и точките Р(3;0;1) и Q(0;-3;1) от ръбовете му. Пресметнете лицето на сечението на куба с равнината, съдържаща точките А, Р и Q.