Задача 1

Пресметнете с точност до стотните числото

Задача 2

На колко е равна сумата на всички прости делители на числото 20 252 025?

Задача 3

Кое е числото, образувано от последните две цифри на числото 7⁷⁸?

Задача 4

Колко на брой са нечетните числа 2n - 1, 1 ≤ n ≤ 30, които са взаимно прости с 60?

Задача 5

За всеки триъгълник АВС (виж чертежа) пресечната точка Н на височините, пресечната точка G на медианите и пресечната точка О на симетралите на страните лежат на една права линия, наречена „Права на Ойлер“.

Ако върховете на триъгълника са в точките А(0;0), В(12;0) и С(2;5), кое от следните твърдения НЕ е вярно:

Задача 6

Ъглополовящите във всеки триъгълник АВС се пресичат в една точка, която по традиция се означава с буквата I . Нека D, E и F са петите на перпендикулярите, спуснати от I съответно към страните АВ, ВС и СА (виж левия чертеж). Известно е, че трите отсечки АЕ, BF и CD се пресичат в точката на Жергон (Gergonne), която по традиция се означава с Ge. В помощния файл към задачата е даден триъгълник с върхове в точките А(0;0), В(12;0) и С(2;5). Намерете точката I за точи триъгълник, постройте точките D, E, F и Ge и пресметнете разстоянието между точките А и Ge.

Задача 7

Триъгълник има за върхове точките А(0;0), В(5;0) и С(2;6). Точките D и Е са среди съответно на отсечките АС и ВС. Точка М е от отсечката DЕ. Каква е най-малката възможна стойност на сумата от дължините на отсечките АМ, МВ и МС?

Задача 8

Точка С(3;0) е среда на отсечка с краища А(0;0) и В(6;0). Намерете точка D, за която AD = 3BD и CD = 5.

Задача 9

В помощния файл е даден ъгъл с връх в точка О и рамене l и m, както и точка Р вътре в ъгъла. Отсечката АВ съдържа точка Р и краищата ѝ А и В са върху раменете на ъгъла. Какво е най-малкото възможно лице на триъгълника ОАВ?

Задача 10

Дадена е окръжност k с център в точка О(0,0) и радиус R=6. Вътре в нея лежи по-малка окръжност k' с център в точка О‘ и радиус r. От произволна точка А от k прекарваме двете допирателни към k' и намираме пресечните им точки В и С с k (виж фигурата). При коя стойност на радиуса r отсечката ВС се допира до окръжността k'?