Задача 1

Намерете най-малкото нечетно число n , измежду числата от 1 до 2025, за което е изпълнено неравенството

Задача 2

Колко решения има уравнението ?

Задача 3

Разстоянието между центровете на две окръжности е 6 см. По-голямата има радиус R = 5 см, а другата е с радиус r = 2 см. Каква е сумата от дължините на късите дъги от двете окръжности, които свързват пресечните им точки?

Задача 4

Пунктираните линии от левия чертеж по-долу сключват един и същ ъгъл ω със съответните страни на триъгълника АВС. Известно е, че има ъгъл ω, за който трите линии се пресичат в една точка (десния чертеж). В този случай ъгълът ω се нарича „Ъгъл на Брокар за триъгълника АВС“, а пресечната точка на трите линии – „Точка на Брокар“ за този триъгълник. Ако върховете на триъгълника са в точките A(4;6), B(10;6) и С(5;11), намерете най-късото разстоянието от точката на Брокар до страните на триъгълника.

Задача 5

Дадени са параболите y = -0.2x²+ 6 и y = -(x - 2)²+ 8. Те имат две общи допирателни. Намерете разстоянието между допирните точки на лявата допирателна с параболите.

Задача 6

Даден е триъгълник АВС с върхове в точките А(0;0), В(5;0) и С(4;3) и описаната около него окръжност. Точка D е от по-късата дъга, свързваща точките А и В (виж чертежа). Петите на перпендикулярите, спуснати от D към страната АС и страната АВ означаваме съответно с E и G. Известно е, че правата през точките E и G минава и през петата F на перпендикуляра, спуснат от D към страната ВС на триъгълника (или към нейното продължение). Тази права се нарича „права на Симпсон за триъгълника АВС, съответстваща на точка D“. Намерете положение на точка D върху дъгата АВ, при което лицето на триъгълника АGE е равно на една трета от лицето на триъгълника АВС.

Задача 7

В окръжност с радиус 1 е вписан правилен 9-ъгълник. Да се пресметне произведението на разстоянията от фиксиран връх до всички останали върхове.

Задача 8

Да се намери най-малката стойност на израза x² + y² + xy, където числата x и y удовлетворяват уравнението -x³y² + x² + y⁴ - y³ = 3

Задача 9

Ден преди състезанието „VIVA Математика с компютър” Стоян и Стефи се подготвят поотделно, като всеки от тях е отделил не повече от 8 часа. Известно е, че двамата са отделили общо поне 6 часа. Времето, което е отделила Стефи, е най-много с 4 часа повече от времето, отделено от Стоян. Каква е вероятността Стоян да е отделил повече време за подготовка от Стефи? (Упътване: Използвайте „геометрична вероятност“)

Задача 10

Намерете положително число z, такова че триъгълникът с върхове в точките А(3;0;0), В(0;2;0) и С(0;0;z) да има лице 7,34.