Задача 1

Пресметнете сумата

Задача 2

Колко решения има уравнението ?

Задача 3

Разстоянието между центровете на два кръга е 6 см. По-голямият има радиус R = 5 см. Какъв e радиусът на по-малкият от тях, ако е известно, че лицето на общата част на двата кръга е 3 кв. см?

Задача 4

Колко двойки (x, y) цели неотрицателни числа x, y съществуват, за които са изпълнени неравенствата ?

Задача 5

Пунктираните линии от левия чертеж по-долу сключват един и същ ъгъл ω със съответните страни на триъгълника АВС. Известно е, че има ъгъл ω , за който трите линии се пресичат в една точка (десния чертеж). В този случай ъгълът ω се нарича „Ъгъл на Брокар за триъгълника АВС“, а пресечната точка на трите линии – „Точка на Брокар“ за този триъгълник. Ако върховете на триъгълника са в точките A(4;6), B(10;6) и С(5;11), намерете разстоянието от точката на Брокар до страната АВ на триъгълника.

Задача 6

Дадени са параболите y = -0.2x²+ 6 и y = -(x - 2)²+ 8. Те имат две общи допирателни. Намерете разстоянието между допирните точки на дясната допирателна с параболите.

Задача 7

Даден е триъгълник АВС с върхове в точките А(0;0), В(5;0) и С(4;3) и описаната около него окръжност. Точка D е от по-късата дъга, свързваща точките А и В (виж чертежа). Петите на перпендикулярите, спуснати от D към страната АС и страната АВ означаваме съответно с E и G. Известно е, че правата през точките E и G минава и през петата F на перпендикуляра, спуснат от D към страната ВС на триъгълника (или към нейното продължение). Тази права се нарича „права на Симпсон за триъгълника АВС, съответстваща на точка D“. Намерете положение на точка D върху дъгата АВ, при което лицето на триъгълника АGE е равно на една четвърт от лицето на триъгълника АВС.

Задача 8

В окръжност с радиус 1 е вписан правилен шестоъгълник. Да се пресметне произведението на разстоянията от фиксиран връх до всички останали върхове.

Задача 9

Пресметнете колко е най-късото разстояние от точка О(0;0) до множеството от точки, чийто координати x и y удовлетворяват уравнението -x³y² + x² + y⁴ - y³ = 3

Задача 10

Намерете положително число z, такова че триъгълникът с върхове в точките А(3;0;0), В(0;2;0) и С(0;0;z) да има периметър 12.