Задача 1

Пресметнете израза с точност до стотните.

Задача 2

В триъгълника АВС (виж чертежа) червената отсечка BD e височината от върха В към страната АС, синята отсечка АЕ е ъглополовяща на ъгъла САВ, зелената отсечка CF е медианата през върха С, а черната отсечка GI е радиусът на окръжност, която се допира до отсечката АВ и до продълженията на страните СА и СВ.

Ако върховете на триъгълника са в точките А(0;0), В(7;0) и С(2;5), кое от следните твърдения НЕ е вярно:

Задача 3

Разстоянието между центровете на две окръжности е 6 см. По-голямата има радиус R = 5 см, а другата е с радиус r = 2 см. Каква е сумата от дължините на двете двете къси дъги, които свързват общите точки на двете окръжности?

Задача 4

Колко двойки (x, y) цели неотрицателни числа x, y съществуват, за които са изпълнени неравенствата 2x + 3y ≤ 16, 4x + 3y ≤ 18 и сумата x + y e нечетно число?

Задача 5

Дадени са параболата y = - 0.2x² + 6 и окръжност с център в точката А(2;7) и радиус 2. Тези фигури имат две общи допирателни. Намерете разстоянието между допирните точки на дясната допирателна с параболата и с окръжността.

Задача 6

Дадени са триъгълник АВС с върхове в точките А(0;0), В(5;0) и С(4;3) и описаната около него окръжност. Точка D е от по-късата дъга, свързваща точките А и В (виж чертежа). Петите на перпендикулярите, спуснати от D към страната АС и страната АВ означаваме съответно с E и G. Намерете положение на точка D върху дъгата АВ, при което лицето на триъгълника АGE е равно на една пета от лицето на триъгълника АВС.

Задача 7

Точките A, B, C, D, E и F с разположени в пространството, както е показано на картинката. Картончета с имената на точките, по едно картонче за всяка точка, са скрити в кутия. Мая изважда от кутията три картончета на случаен принцип.

Каква е вероятността трите извадени точки да образуват остроъгълен триъгълник?

Задача 8

На билярдна маса е поставено препятстявие във формата на кръг (виж чертежа). Когато билярдна топка попадне в точка от препятствието, тя се отразява от него така, както би се отразила от допирателната към препятствиято в тази точка (ъгълът α на падане е равен на ъгъла α на отразяване спрямо допирателната).

В помощния файл са дадени точка А (начално положение на билярдната топка), окръжност k (препятствие) и права линия l (стена на билярдната маса). Да се намери точка В от окръжността k, към която да се изстреля билярдната топка, такава че след отразяване от препятствието k и след отразяване от стената l, билярдната топка да мине отново през точка А.

Задача 9

Точка A(x;y) е от окръжност с център в началото O(0; 0) на координатната система и радиус 2. Каква е най-голямата възможна стойност на израза x² - y ?

Задача 10

На колко е равна сумата на всички положителни делители на числото 2025?