Задача 1

Пресметнете израза с точност до стотните.

Задача 2

На колко е равна сумата на всички положителни делители на числото 2025?

Задача 3

В триъгълника АВС (виж чертежа) червената отсечка BD e височината от върха В към страната АС, синята отсечка АЕ е ъглополовяща на ъгъла САВ, зелената отсечка CF е медианата през върха С, а черната отсечка GB е радиусът на описаната около триъгълника окръжност.

Ако върховете на триъгълника са в точките А(0;0), В(7;0) и С(4;5), кое от следните твърдения НЕ е вярно:

Задача 4

Колко са двойките (x,y) от цели неотрицателни числа x и y, за които са изпълнени неравенствата 2x + 3y ≤ 16, 4x + 3y ≤ 18 и сумата x + y e четно число?

Задача 5

Дадени са две окръжности. Едната е с център в точка А(0;0) и има радиус 5, а другата е с център в точка В(6;0) и има радиус 2. Нека l е обща допирателна към двете окръжности. Какво е разстоянието между точките C и D, в които l се допира до окръжностите?

Задача 6

Дадени са триъгълник АВС с върхове в точките А(0;0), В(5;0) и С(4;3) и описаната около него окръжност. Точка D е от по-късата дъга, свързваща точките А и В (виж чертежа). Петите на перпендикулярите, спуснати от D към страната АС и страната АВ означаваме съответно с E и G. Намерете положение на точка D върху дъгата АВ, при което лицето на триъгълника АGE е равно на една пета от лицето на триъгълника АВС.

Задача 7

Точките A, B, C, D, E и F с разположени в равнината, както е показано на картинката. Картончета с имената на точките, по едно картонче за всяка точка, са скрити в кутия. Мая изважда от кутията три картончета на случаен принцип.

Каква е вероятността трите извадени точки да образуват правоъгълен триъгълник?

Задача 8

Две от стените k и l на нестандартна билярдна маса са прави линии, които сключват остър ъгъл помежду си (виж чертежа). Билярдна топка се намира в точка А от този ъгъл. Намерете точка В от правата k , към която трябва да насочим билярдната топка, така че, след последователно отразяване от k и l, топката да премине през точка А.

Задача 9

Пунктираните линии от левия чертеж по-долу сключват един и същ ъгъл ω със съответните страни на триъгълника АВС. Известно е, че има ъгъл ω, за който трите линии се пресичат в една точка (десния чертеж). В този случай ъгълът ω се нарича „Ъгъл на Брокар за триъгълника АВС“, а пресечната точка на трите линии – „Точка на Брокар“ за този триъгълник. Ако върховете на триъгълника са в точките A(4;6), B(10;6) и С(5;11), намерете разстоянието от точката на Брокар до страната BC на триъгълника.

Задача 10

Даден е остър ъгъл с рамене l и m и окръжност k вътре в ъгъла. Каква е дължината на най-късата отсечка АВ, която се допира до k и краищата ѝ А и В са върху раменете на ъгъла?