Задача 1

Пресметнете числото 2,025⁴ (две цяло и двадесет и пет хилядни на четвърта степен).

Задача 2

На колко е равна сумата на всички положителни делители на числото 2025?

Задача 3

Намерете най-големия общ делител на числата 5282739 и 33033.

Задача 4

Какъв е остатъкът като разделим числото 7²² на 100?

Задача 5

В помощния файл е даден четириъгълник ABCD. Точките I, J, K, L от страните на ABCD (виж чертежа) са подбрани така, че 4AI = AB, 4BJ = BC, 4CK= CD и 4DL = DA.

Каква част от лицето на ABCD е лицето на IJKL ?

Задача 6

В триъгълника АВС (виж чертежа) червената отсечка BD e височината от върха В към страната АС, синята отсечка АЕ е ъглополовяща на ъгъла САВ, зелената отсечка CF е медиана - свързва върха С със средата F на отсечката АВ.

Ако върховете на триъгълника са в точките А(0;0), В(7;0) и С(4;5), кое от следните твърдения е вярно:

Задача 7

Точките A, B, C, D, E и F сa разположени в равнината, както е показано на картинката.

Колко на брой са правоъгълните триъгълници с върхове в дадените точки?

Задача 8

Пунктираните линии от левия чертеж по-долу сключват един и същ ъгъл ω със съответните страни на триъгълника АВС. Известно е, че има ъгъл ω, за който трите линии се пресичат в една точка (десния чертеж). В този случай ъгълът ω се нарича „Ъгъл на Брокар за триъгълника АВС“, а пресечната точка на трите линии – „Точка на Брокар“ за този триъгълник. Ако върховете на триъгълника са в точките A(4;6), B(10;6) и С(5;11), намерете разстоянието от точката на Брокар до върха B на триъгълника.

Задача 9

В помощния файл е даден остър ъгъл с рамене l и m и точка Р вътре вътре в ъгъла. Каква е дължината на най-късата отсечка АВ, която съдържа точка Р и крайщата ѝ А и В са върху раменете на ъгъла?

Задача 10

Две от стените k и l на нестандартна билярдна маса са прави линии, които сключват остър ъгъл помежду си (виж чертежа). Билярдна топка се намира в точка А от този ъгъл. Намерете точка В от правата k, към която трябва да насочим билярдната топка така че след последователно отразяване от k и l топката да премине през точка А.

Запишете като отговор на задачата сумата от координатите на точка В с точност до стотните.
Забележка. Съгласно законите на физиката, при отразяване на топката от стена „Ъгълът на падане е равен на ъгъла на отразяване“, както е показано на чертежа.