Задача 1

Кое цяло число е най-близко до ?

Задача 2

За кое от следните числа средното аритметично на различните негови прости делители е най-голямо?

Задача 3

За ъгъла α е известно, че sin⁡2α=0,125. Пресметнете стойността на израза |sin⁡α+cos⁡α| с точност до стотните.

Задача 4

За триъгълника АВС е известно, че дължината на страната АВ е 10 cm, страната ВС е 6 cm, a радиусът на вписаната в триъгълника окръжност е 2,2 cm. Каква е най-голямата възможна дължина на страната АС?

Задача 5

Кръгове с центрове в точките А, В и С имат съответно радиуси 4 cm, 4 cm и 5 cm и всеки от тях се допира до другите два (виж чертежа). В непокритата от тези кръгове част на триъгълника АВС е вписан по-малък кръг, който се допира до другите три кръга. Намерете радиуса на този кръг в cm.

Задача 6

За успоредника ABCD е известно, че точка A има координати (0; 0), точка В е от абсцисната ос, точка C е от окръжност с център в E(8; 3) и радиус 1 cm, а ъгълът BAD e 45°. Колко е най-голямото възможно лице на такъв успоредник?

Задача 7

Намерете лицето на триъгълник АВС със следните свойства (виж чертежа): точките В и С лежат на параболата y = (x - 6)², a минаващата през тях права съдържа началото О(0 ; 0) на координатната система; точка А има координати (12; 0); ъгълът АВС е прав.

Задача 8

Коя е най-малката възможна стойност за израза , когато x и y са положителни числа?

Задача 9

Дадени са: прав кръгов конус с връх в точката C и две диаметрално противоположни точки А и В от неговата основа. Известно е, че образуващата CA=CB е 14 cm, a АВ=10 cm. Колко дълъг e най-късият път, който мравка, пълзяща по околната повърхнина на конуса, трябва да измине, ако тръгне от точка А, пресече отсечката CВ и отново стигне до точка А?

Задача 10

В точка С(20; 18) има източник на вредно и проникващо излъчване. При преминаване през препятствие във формата на „полумесец“ (виж чертежа), силата на излъчването намалява в зависимост от дължината на изминатия от лъчите път в препятствието. Намерете точка от препятствието, в която излъчването е най-слабо.