Задача 1

Кое цяло число е най-близко до ?

Задача 2

За кое от следните числа сумата от различните негови прости делители е най-голяма?

Задача 3

Колко на брой са точките в равнината, чиито координати (x,y) са цели числа, за които са изпълнени неравенствата
y ≤ 2x, y + x ≤ 12 и 10y - (x - 6)² ≥ 0 ?

Задача 4

За триъгълника АВС е известно, че дължината на страната АВ е 10 cm, страната ВС е 6 cm, a радиусът на описаната около триъгълника окръжност е 7 cm. Каква е най-малката възможна дължина на страната АС?

Задача 5

Кръгове с центрове в точките А, В и С имат съответно радиуси 4 см, 4 см и 5 см и всеки от тях се допира до другите два (виж чертежа). В непокритата от тези кръгове част на триъгълника АВС е вписан по-малък кръг, който се допира до другите три кръга. Намерете радиуса на този кръг.

Задача 6

За правоъгълника ABCD е известно, че има страни, успоредни на координатните оси, че точка A има координати (0; 0), а точка C е от окръжност с център в E(4; 3) и радиус 1 cm. Какво е най-голямото възможно лице на такъв правоъгълник?

Задача 7

Даден е триъгълник с върхове в точките А(0;0), В(8;0) и С(-4;5). Отсечките РС и ВQ се допират до дъга от окръжност (с център в точка А и радиус 1,5 ) и се пресичат в точка R. Какво е лицето на описаната около триъгълника RBC окръжност?

Задача 8

Крива линия в равнината се състои от точки P(x;y), чиито координати удовлетворяват уравнението y= x⁴ - 4x² + 2. Права линия р съдържа точките А(2;2) и В(-1;-1) от кривата линия и, освен тях, съдържа още две други точки от кривата. Намерете разстоянието между тези две точки.

Задача 9

Намерете корен на уравнението 8^x - 3 (4^x) + 4 (2^x) - 12 = 0

Задача 10

В точка С(20; 22) има източник на вредно и проникващо излъчване. При преминаване през препятствие във формата на два слепени кръгови сегмента (виж чертежа), силата на излъчването намалява в зависимост от дължината на изминатия от лъчите път в препятствието. Намерете точка от препятствието, в която излъчването е най-слабо.