Задача 1

Правилна шестоъгълна пирамида с основен ръб 2 cm и прав кръгов конус имат равни височини и един и същ обем. Намерете радиуса на основата на конуса.

Задача 2

За неотрицателните цели числа m и n е известно, че са по-малки от 35 и че На колко е равно тяхното произведение?

Задача 3

Намерете естествено число n, за което числата съвпадат поне до 10-тата цифра след десетичната запетая.

Задача 4

Даден е полукръг с център в точка О(0; 0) и радиус 4 cm. Точките А и В са от окръжността, a правата през тях е успоредна на диаметъра на полукръга. Триъгълникът ОАВ е остроъгълен и лицето му е 7,31 см². Какъв е радиусът на описаната около триъгълника окръжност?

Задача 5

Всяка двойка числа (x ,y) , за които са изпълнени равенствата

определя точка в равнината (с координати x ,y ), която точка наричаме „решение на системата уравнения“. Намерете разстоянието между двете решения на системата.

Задача 6

Параметърът p приема стойности между 0 и 10. Намерете най-малката стойност на p, за която системата

няма решение.

Задача 7

Дадени са точките U(- 2; 4), V(3; 1), W(5; 2) и X(4; 6). Правоъгълникът ABCD е такъв, че точка V лежи на страната АВ, точка W лежи на страната ВС, точка X лежи на страната CD и точка U e от страната DA. Какво е най-голямото възможно лице на такъв правоъгълник?

Задача 8

За правоъгълника АВСD е известно, че съдържа точка Р, разстоянието от която до А, В и С е съответно 3, 4 и 5 cm. Какъв е най-големият възможен периметър на такъв правоъгълник?

Задача 9

Даден е триъгълник ABC със страни AB = 7 cm, BC = 4,12 cm и AC = 7,21 cm. Отсечка DE с краища върху страните на триъгълника го разделя на две равнолицеви части. Коя е минималната възможна дължина на DE?

Задача 10

Даден е равностранен триъгълник със страна 45,5 cm и отсечка с дължина 15 cm. В средата на отсечката има остър резец. Движим отсечката така, че краищата й да са постоянно на страните на триъгълника. При такова движение резецът изрязва част от краищата му. Намерете лицето на фигурата, която остава от правилния триъгълник, след една пълна обиколка на отсечката по страните му.