Задача 1

Коя е последната цифра на числото 3²⁰²³?

Задача 2

За естествените числа m и n е известно, че са по-малки от 35 и На колко е равна тяхната сума?

Задача 3

Даден е полукръг с диаметър 8 см. Страната АВ на правоъгълник АВСD лежи на диаметъра, а точките С и D са на окръжността. Известно е, че лицето на правоъгълника е 16 см². Каква е дължината на ВС?

Задача 4

Намерете най-малкото и най-голямото естествени числа x , за които e изпълнено неравенството . Запишете сумата на тези две числа.

Задача 5

Намерете естествено число n, за което числата съвпадат поне до 10-тата цифра след десетичната запетая.

Задача 6

Параметърът p приема стойности между 0 и 10. Всяко решение (x,y) на системата

определя точка в равнината с координати x и y . Намерете стойност на параметъра p, за която най-малкото разстояние между две решения на системата (с точност до хилядни) e 1,075.

Задача 7

Дадени са точките U(- 2; 4), V(3; 1), W(5; 2) и X(4; 6). Правоъгълникът ABCD е такъв, че точка V лежи на страната АВ, точка W лежи на страната ВС, точка X лежи на страната CD и точка U e от страната DA. Какво е най-голямото възможно лице на такъв правоъгълник?

Задача 8

За правоъгълника АВСD е известно, че съдържа точка Р, разстоянието от която до А, В и С е съответно 3, 4 и 5 см. Какъв е най-малкият възможен периметър на такъв правоъгълник?

Задача 9

В даден квадрат ABCD със страна 10 см е вписан квадрат MNPQ, чиито върхове лежат върху страните на ABCD. В MNPQ и в четирите образувани триъгълника са вписани кръгове. Да се намери с точност до стотните минималния сбор от лицата на петте вписани кръга.

Задача 10

Даден е правилен петоъгълник със страна 38,4 cm и отсечка с дължина 24,5 cm. В средата на отсечката има остър резец. Движим отсечката така, че краищата й да са постоянно на страните на правилния петоъгълник. При такова движение резецът изрязва част от краищата му. Намерете лицето на фигурата, която остава от правилния петоъгълник, след една пълна обиколка на отсечката по страните му.