Задача 1

Кои са последните две цифри на числото 7²⁰²³?

Задача 2

Едноцифрените неотрицателни числа m и n са такива, че . На колко е равно тяхното произведение?

Задача 3

Върховете на триъгълника АВС са в т. А(0; 0), т. В(8, 0) и т. С(6; 6,5). Страната RS на вписания в триъгълника правоъгълник PQRS лежи на страната АВ. Какво е най-голямото възможно лице на правоъгълника?

Задача 4

За естествените числа n от 1 до 130 са пресметнати числата Намерете най-малкото и най-голямото естествени числа, за които e изпълнено неравенството b(n) > a(n). Колко е сумата на тези две числа?

Задача 5

Колко на брой са целите числа между 10 и 150, които при деление на 7 дават остатък 1, а при деление на 3 дават остатък 2?

Задача 6

Дадени са отсечка с краища в точките А(0; 0) и В(5; 0), както и точка С от окръжност k с радиус 2 и център в точката Р(6; 4). Какъв е минималният възможен ъгъл при върха С на триъгълника АВС?

Задача 7

Дадени са точките U( - 2; 4), V(3; 1), W(5; 2) и X(4; 6). Правоъгълникът ABCD е такъв, че т. V лежи на страната АВ, т. W лежи на страната ВС, т. X лежи на страната CD и т. U e от страната DA. Какъв е най-големият възможен периметър на такъв правоъгълник?

Задача 8

За правоъгълника АВСD е известно, че съдържа точка Р, разстоянието от която до А, В и С е съответно 3, 4 и 5 см. Какъв е най-големият възможен периметър на такъв правоъгълник?

Задача 9

В даден квадрат ABCD със страна 10 см е вписан квадрат MNPQ, чиито върхове лежат върху страните на ABCD. В MNPQ и в четирите образувани триъгълника са вписани кръгове. Да се намери с точност до стотните минималния сбор от лицата на петте вписани кръга.

Задача 10

Даден е правилен шестоъгълник със страна 30,2 cm и отсечка с дължина 20,5 cm. В средата на отсечката има остър резец. Движим отсечката така, че краищата й да са постоянно на страните на правилния шестоъгълник. При такова движение резецът изрязва част от краищата му. Намерете лицето на фигурата, която остава от правилния шестоъгълник, след една пълна обиколка на отсечката по страните му.