Задача 1

Кои са последните две цифри на числото 7²⁰²³?

Задача 2

Едноцифрените неотрицателни числа m и n са такива, че . На колко е равно тяхното произведение?

Задача 3

За естествените числа n от 1 до 100 са пресметнати числата Намерете най-малкото и най-голямото естествени числа, за които e изпълнено неравенството b(n)>a(n).
Колко е сумата на тези две числа?

Задача 4

Върховете на триъгълника АВС са в точките А(0; 0), В(8; 0) и С(6; 7,5). Страната RS на вписания в триъгълника правоъгълник PQRS лежи на страната АВ. Какво е най-голямото възможно лице на правоъгълника?

Задача 5

Колко на брой са целите числа между 10 и 150, които при деление на 3 и при деление на 7 дават остатък 1?

Задача 6

Дадени са отсечка с краища в точките А(0;0) и В(5; 0), както и окръжност k с радиус 3 и център в точката Р(7; 4). Точка С е от окръжността k. Каква е максималната големина на ъгъл АСВ?

Задача 7

Дадени са точките U( - 2;4), V(3;1), W(5;2) и X(4;6). Правоъгълникът ABCD е такъв, че точка V лежи на страната АВ, точка W лежи на страната ВС, точка X лежи на страната CD и точка U e от страната DA. Какво е най-голямото възможно лице на такъв правоъгълник?

Задача 8

За правоъгълника АВСD е известно, че съдържа точка Р, разстоянието от която до А, В и С е съответно 3, 4 и 5 см. Какво е най-голямото възможно лице на такъв правоъгълник?

Задача 9

В даден квадрат ABCD със страна 10 см е вписан квадрат MNPQ, чиито върхове лежат върху страните на ABCD. В MNPQ и в четирите образувани триъгълника са вписани кръгове. Да се намери с точност до стотните минималният сбор от лицата на петте вписани кръга.

Задача 10

Даден е правилен осмоъгълник със страна 21,5 cm и отсечка с дължина 17,2 cm. В средата на отсечката има остър резец. Движим отсечката така, че краищата ѝ да са постоянно на страните на правилния осмоъгълник. При такова движение резецът изрязва част от краищата му. Намерете лицето на фигурата, която остава от правилния осмоъгълник, след една пълна обиколка на отсечката по страните му.