Задача 1

Пребройте правоъгълните паралелепипеди в конструкцията от единични кубчета 1×2×4.

Задача 2

За коя стойност на параметъра a сумата от трите реални корена на уравнението
(a - x)(x - 3)(x - 7) = 6
е равна на 12,5?

Задача 3

Колко на брой са точките P(x ;y) в равнината, чиито координати x и y са цели положителни числа, за които са изпълнени неравенствата
x + y < 10, y - x < 4 и 3y - (x - 3)² > 0?

Задача 4

Даден е трапец с върхове в точките А(0 ; 0), В(0 ; 8), С(7 ; 4) и D(3 ; 4). Намерете точка Р от страната ВС, за която лицaта на триъгълниците АВР и РСD са равни. Пресметнете радиуса на вписаната в триъгълника АРD окръжност.

Задача 5

Двадесет и пет точки с целочислени координати са разположени в равнината, както е показано на фигурата със сините точки. Сред тях са избрани три точки A, B и C така, че градусната мярка на ъгъл ABC да е възможно най-малка, но различна от 0. Намерете мярката на ъгъл АВС с точност до стотните.

Задача 6

На плоско стъкло в рамка с форма на правилен двадесетоъгълник със страна 10 сm трябва да се постави чистачка, подобна на автомобилните - движението ѝ е „открай-докрай“ и се ограничава само от рамката. Ако единият край е закрепен във връх на рамката, каква е максималната площ, която може да бъде почистена?

Задача 7

Триъгълник има за върхове точките А(4; 0; 0), В(0; 4; 0) и С(0; 0; 4). Намерете лицето на онази част от триъгълника, която се съдържа в кълбото с център в точка О(0; 0; 0) и радиус 3.

Задача 8

Работилница сглобява два вида кутии (К₁ и К₂) от предварително доставени дървени плоскости - заготовки. При сглобяването се използват два типа планки (П₁ и П₂).

Планки П₁ и П₂
За сглобяването на една кутия от вида К₁ са необходими 12 планки от тип П₁ и 4 планки от тип П₂ . За кутия от вида К₂ са необходими 4 планки от тип П₁ и 7 планки от тип П₂. В склада на работилницата в момента има 370 планки от тип П₁ и 240 планки от тип П₂. Какъв е най-големият общ брой кутии от двата вида, които работилницата може да произведе с тези ресурси?

Задача 9

Кое е най-голямото естествено число k, за което има k последователни нечетни естествени числа 2a + 1, 2a + 3,…,2a + (2k - 1), , чиято сума е равна на 2023?

Задача 10

Кое е числото a, съответстващо на намереното в предната задача естествено число k?