Задача 1

Пребройте призмите в конструкцията.

Задача 2

Намерете сумата от решенията на уравнението
(2-x)(x-3)(x-7)=6

Задача 3

Колко на брой са точките P(x ;y) в равнината, чиито координати x и y са цели положителни числа, за които са изпълнени неравенствата
x + y < 10, y - x < 4 и 10y - 2x > 0?

Задача 4

Даден е триъгълник с върхове в точките А(0 ; 0), В(8 ; 0) и С(3 ; 6). Точка D е такава точка извън триъгълника, че АD = 5 и DВ = 4. Намерете дължината на ъглополовящата на ъгъл ADC в триъгълник ADC.

Задача 5

Двадесет и пет точки с целочислени координати са разположени в равнината, както е показано на фигурата със сините точки. Сред тях са избрани три точки A, B и C така, че градусната мярка на ъгъл ABC да е възможно най-малка, но различна от 0. Намерете мярката на ъгъл АВС с точност до стотните.

Задача 6

На плоско стъкло в рамка с форма на правилен двадесетоъгълник със страна 10 сm трябва да се постави чистачка, подобна на автомобилните - движението ѝ е „открай-докрай“ и се ограничава само от рамката. Ако единият край е закрепен във връх на рамката, каква е максималната площ, която може да бъде почистена?

Задача 7

За триъгълник АВС с лице 13 см² е известно, че ъглите при върховете А и В са 60 и 70 градуса. Намерете радиуса на външно вписаната в триъгълника окръжност, която се допира външно до страната ВС и до продълженията на страните АВ и АС.

Задача 8

Даден е трапец с върхове в точките А(0 ; 0), В(0 ; 8), С(7 ; 4) и D(3 ; 4). Намерете точка Р от страната ВС, за която лицaта на триъгълниците АВР и РСD са равни. Пресметнете лицето на триъгълника АРD.

Задача 9

Работилница сглобява два вида кутии (К₁ и К₂) от предварително доставени дървени плоскости - заготовки. При сглобяването се използват два типа планки (П₁ и П₂).

Планки П₁ и П₂
За сглобяването на една кутия от вида К₁ са необходими 12 планки от тип П₁ и 4 планки от тип П₂ . За кутия от вида К₂ са необходими 4 планки от тип П₁ и 5 планки от тип П₂. В склада на работилницата в момента има 360 планки от тип П₁ и 230 планки от тип П₂. Какъв е най-големият общ брой кутии от двата вида, които работилницата може да произведе с тези ресурси?

Задача 10

Кое е най-голямото нечетно число k, за което има k последователни естествени числа n,n +1,n+2,…,n+(k-1), чиято сума е равна на 105?