Задача 1

Пребройте правоъгълните паралелепипеди в конструкцията от единични кубчета 1×2×4.

Задача 2

За кое цяло положително число n стойността на израза

е най-близка до числото 0,6?

Задача 3

Колко на брой са точките P(x ;y) в равнината, чиито координати x и y са цели положителни числа, за които са изпълнени неравенствата
x + y < 10, y - x < 4 и 10y - x > 0?

Задача 4

Даден е триъгълник с върхове в точките А(0 ; 0), В(8 ; 0) и С(3 ; 6). Точка D е такава точка извън триъгълника, че АD = 5 и DВ = 4. Намерете дължината на височината на триъгълника DАС, спусната от върха D към страната АС. Запишете отговора с точност до стотните.

Задача 5

Двадесет и пет точки с целочислени координати са разположени в равнината, както е показано на фигурата със сините точки. Сред тях са избрани три точки A, B и C така, че градусната мярка на ъгъл ABC да е възможно най-малка, но различна от 0. Намерете мярката на ъгъл АВС с точност до стотните.

Задача 6

На плоско стъкло в рамка с форма на правилен седмоъгълник със страна 10 сm трябва да се постави чистачка, подобна на автомобилните - движението ѝ е „открай-докрай“ и се ограничава само от рамката. Ако единият край е закрепен в среда на страна на рамката, каква е максималната площ, която може да бъде почистена?

Задача 7

За триъгълник АВС с лице 13 см² е известно, че ъглите при върховете А и В са 60 и 70 градуса. Намерете радиуса на описаната около триъгълника окръжност и запишете отговора с точност до стотните.

Задача 8

Единият край на отсечката АВ е в точка А(0 ; 2), а другият край (точка В) е от окръжност k с център в точка О(0,0) и радиус 1. Точка С е връх на равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотенуза АВ. Каквa е дължината на линията, описана от точка С, когато точка В извърши едно пълно завъртане около окръжността?

Задача 9

Намерете третото по големина четно естествено число k, за което има k на брой последователни естествени числа a,a +1,a+2,…,a+(k-1), чиято сума е равна на 435?

Задача 10

Кое е числото a, съответстващо на намереното в предната задача естествено число k?