Задача 1

Колко целочислени решения има неравенството x⁴ - 7x³ - 3x² + 63x - 54 < 0?

Задача 2

Отбележете кои от дадените по-долу двойки числа имат общ делител, различен от 1.

Задача 3

Четириъгълникът ABCD има за върхове точките A(0; 0), B(5; 0), C(7; 4) и D(1; 6). В него е вписан успоредник MNPQ със страни, успоредни на диагоналите на четириъгълника. Най-голямото възможно лице на успоредника е:

Задача 4

Kривата линия на чертежа е част от графиката на квадратната функция y = -3(x-1)(x-3). Точка А е от ординатната ос с положителна втора координата. С център в А е построен кръг k, който се допира до кривата линия в някоя точка В, чието разположение зависи от мястото на точката А . Намерете такова разположение на точка A, че дължината на отсечката АВ да е 2 см. Запишете с точност до стотни втората координата на точка A.

Задача 5

Дадени са точките А(9; 0), В(- 4,5; - 6) и С(-3; 7.5). Точка М се движи по окръжност с център в точка О(0; 0) и радиус 3 см. Запишете с точност до стотни най-голямата възможна стойност на квадратен корен от произведението на дължините на отсечките МА, МВ и МС.

Задача 6

Точките А(0; 0), В(5; 0) и С(3; 5) са върхове на триъгълника АВС. Намерете такива точки Р от страната АВ, Q от страната ВС и R от страната СА, че периметърът на триъгълника PQR да е възможно най-малък. Запишете с точност до стотни дължината на този най-малък периметър.

Задача 7

Каква е дължината на интервала от стойности на положителния параметър p , за които разстоянието между двата корена на уравнението е между 0 и 3

Задача 8

За кои от посоченитепо-долу стойности на числото а системата

има решение?

Задача 9

Даден е триъгълник с върхове в точките A(0; 0), B(8; 0), C(3; 6). Намерете с точност до стотни абсцисата на вътрешна за триъгълника точка Х, за която лицата на триъгълниците АВХ, ХВС и АХС се отнасят както 1:2:2 .

Задача 10

Даден е правилен тетраедър ABCD с дължина на страната см. Муха тръгва от връх А и лази по стените АВD и ВСD на тетраедъра с цел да попадне в точка E, която е среда на ръба ВС. Каква е дължината на най-късия път, който трябва да измине мухата?