В магазин за технически течности (дестилирана вода, водно стъкло, спирт, машинно масло и други) се използват пластмасови кутии с формата на прав кръгов цилиндър. В задачите по-долу ще изследваме как се променя мястото на центъра на тежестта на такава кутия в зависимост от обема и теглото на течността в нея. Ако кутията е оставена отворена, тя може да бъде съборена и течността да се разлее. Практиката показва, че кутията е най-стабилна когато центърът на тежестта (на кутията заедно с течността в нея) е възможно най-ниско. Прости съображения показват, че когато кутията е запълнена с течност до h – тия сантиметър от нейната височина, разстоянието C(h) от нейния център на тежестта до основата на кутията, измерено в сантиметри, се определя по формулата:

В тази формула W е теглото в килограми на течността, когато кутията е пълна, w е теглото на празната кутия (също в килограми) и H е височината на кутията в сантиметри.

В първите четири задачи ще разглеждаме кутии с вместимост 1 литър, които са високи 20.5 сантиметра и тежат 50 грама.

За решаването на първите две задачи можете да използвате следния помощен файл.

Задача 1. Плътността на дестилираната вода е 1, т.е. един кубически сантиметър дестилирана вода тежи 1 грам. Намерете височината C(h) на центъра на тежестта на кутията, ако в нея е налята дестилирана вода до 10-тия сантиметър.

Задача 2. Намерете височината в сантиметри на повърхнината на дестилираната вода в кутията, когато центърът на тежестта е най-ниско.

Задача 3. Каква е най-малката стойност на височината на центъра на тежестта, ако в празната кутия наливаме не дестилирана вода, а водно стъкло? (Известно е, че плътността на водното стъкло е 1.5 грама на кубичен сантиметър).

Задача 4.Колко грама водно стъкло трябва да налеем в празната кутия, за да бъде центърът на тежестта най-ниско?

Задача 5. Спиртът се продава в половинлитрови кутии с тегло 40 грама. Той има плътност 0.79 грама на кубически сантиметър. Известно е, че най-ниският център на тежестта на кутия със спирт е на 2 сантиметра от дъното. Какъв е радиусът на основата на кутията?