Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от „връх към несъседен връх“ и „открай до край“, без линиите на разрезите да се пресичат във вътрешна точка на многоъгълника. На Фигура 1 е показано едно допустимо (правилно) нарязване на осмоъгълник (пунктираните линии са разрезите). Фигура 2 е пример

Фиг.1	Фиг.2

на неправилно нарязване на същия многоъгълник, защото разрезите по диагонала А1А5 и по диагонала А2А6 се пресичат във вътрешна за многоъгълника точка.

Резултатът от нарязването на някоя фигура на триъгълници се нарича триангулация на фигурата. Тук ще разглеждаме само триангулации, получени по гореописания начин на рязане. Сумата от дължините на всички разрези, необходими за получаване на дадена триангулация, наричаме дължина на тази триангулация. Например, сумата на дължините на отсечките А7А1, А1А6, А2А6, А2А5, и А5А3 на Фигура 1 е дължината на представената на тази фигура триангулация на осмоъгълника. Сред всички триангулации на даден многоъгълник можем да търсим такава с минимална дължина (т.е. най-къса триангулация) или такава с максимална дължина (т.е. най-дълга триангулация). Ако изходният многоъгълник е

Фиг.3

четириъгълникът на Фиг. 3, имаме само две триангулации. Едната се получава, като разрежем фигурата по диагонала АС, а другата – когато разрезът е по диагонала ВD. Ако направим рязането по по-късия диагонал АС, получаваме триангулация с минимална дължина. Ако разрязването е по по-дългия диагонал ВD, триангулацията ще е с максимална дължина.

Задача 1. Даден е петоъгълник с върхове в точките А1(3,2), А2(6,1), А3(9,3), А4(7,7), А5(3,6).

1 а) Каква е дължината на най-късата триангулация?

1 б) Каква е дължината на най-дългата триангулация?

Задача 2. Даден е правилен шестоъгълник със страна 5 см.

2 а) Каква е дължината на най-късата триангулация?

2 б) Каква е дължината на най-дългата триангулация?

Задача 3. Даден е шестоъгълник с върхове в точките А1(3,1), А2(7,1), А3(11,5), А4(9,8), А5(4,9), А6(2,6).

Каква е дължината на най-късата триангулация?