Дадени са триъгълник АВС и три положителни числа a, b и с. На отсечката АВ отбелязваме точка А1, лежаща на разстояние a от върха А. На отсечката ВС отбелязваме точка В1, отстояща от В на разстояние b и, аналогично, на отсечката СА отбелязваме точка С1, която е на разстояние с от точка С (фиг. 1). Подлагаме новополучения триъгълник А1 В1 С1 на същата операция: намираме върху страните му такива точки А2, В2 и С2, че дължините на отсечките А1А2, В1В2 и С1С2 са съответно равни на a, b и с (Фиг. 2). По същия начин можем да построяваме и „следващите“ триъгълници А3В3С3, А4В4С4 и т.н.

Фиг.1	Фиг.2

Нека върховете на изходния триъгълник са в точките А(0,0), В(15,0) и С(7,12), а числата a, b и с са a=3, b=2 и с=2.

Задача 1. Намерете дължината на отсечката А1В1.

Задача 2. Намерете лицето на триъгълника А2В2С2.

Задача 3. При всяка следваща операция страните на новополучения триъгълник намаляват. Когато някоя от тях стане по-къса от съответното ѝ число, върху нея не може да се намери точка с исканите свойства и операцията прекъсва. Кое е най-голямото естествено число k,за което можете да построите триъгълник АkВkСk?

Задача 4. За намереното в Задача 3 естествено число k намерете обиколката (периметъра) на триъгълника АkВkСk.

За да формулираме последната задача от темата, ще променим постановката на задачата. Три лъва А, В и С си играят, като се преследват взаимно. А преследва В, В преследва С и С преследва А. Скоростта на всеки от тях е съответно a, b и с метра в секунда, които те вземат на един скок. Всеки нов свой скок лъвовете насочват към мястото, където се намира преследваният от тях лъв в същия момент. Приликата с предишните четири задачи е очевидна. Има обаче и една съществена разлика. Ако разстоянието между лъв А и лъв В в края на един скок е по-малко от a, тогава следващата позиция на А не е от отсечката АВ, а е “зад В”, но на лъча с начало А и посока към В. Поради това ситуацията от Задача 3 не може да възникне и преследването може да продължи неограничено.

Задача 5. Нека в началния момент лъвовете са разположени в точките А(0,0), В(15,0) и С(7,12) и скоростите им са еднакви a=b=с= 3 метра в секунда. Намерете лицето на триъгълника с върхове – местата на лъвовете А, В и С в края на десетата секунда.