Задача 1

Вярно е, че

Задача 2

Намерете лицето на сечението на двата правилни шестоъгълника.

Задача 3

За коя стойност на параметъра a най-голямата стойност на функцията f(x)=(a-60)x²-ax+121 е 199 с точност до цялата част?

Задача 4

Даден е четириъгълник ABCD и точката E (виж фигурата). Точката М се движи по контура на четириъгълника ABCD. Намерете дължината на пътя, който изминава точката T от отсечката EM при пълно обхождане от точката M на контура на четириъгълника, ако ET:TM=3:1.

Задача 5

От пластмасов кръгъл лист с радиус 60 см чрез изрязване и слепване следва да се направи кофа с форма на пресечен конус. За целта:
(1) за дъно на кофата се изрязва кръг, концентричен на дадения
(2) от останалата част се изрязва и отстранява част от кръгов сектор с ъгъл α
(3) за да се получи подходяща връзка между дъното и околната повърхнина, се премахва част от пръстен.

Какъв е най-големият възможен обем на кофата, ако височината й трябва да е 10 см?

Задача 6

Дадена е билярдната маса с форма на правилен петоъгълник ABCDЕ (виж фиг.). В точката G(5;7) е разположена билярдна топка, която може да бъде „изстрелвана“ в различни посоки. При достигане до дадена страна, топката се отразява от нея по обичайния начин - под какъвто ъгъл топката отива към страната, под такъв ъгъл тя се отдалечава от нея. Към коя точка Х от страната AB следва да насочим билярдната топка, ако искаме след последователно отразяване от страните AB и СD топката да попадне в точката A?

Задача 7

Дадена е отсечка MN с дължина 9,7 cm. Намерете обиколката на фигурата, която се покрива от всички възможни отсечки AB, ако точката A се намира на разстояние 6,7 cm от точката M, точката B се намира на разстояние 5,6 cm от точката N и отсечката MN се вижда от точката A под ъгъл 37 градуса.

Задача 8. Страните на правоъгълник ABCD са съответно AB=12 сm и AD=5 cm.

а) По диагоналите на правоъгълника, от точката A и от точката B, съответно със скорости V1 =1 cm/sec и V2 =7 cm/sec, започват да се търкалят две пренебрежимо малки топчета. При достигане до другия край на диагонала, всяко топче се връща обратно и това се повтаря многократно. След колко секунди най-рано двете топчета ще се срещнат (ударят)?

б) По диагоналите на правоъгълника, от точката A и от точката B, съответно със скорости V1=1 cm/sec и V2=3,5 cm/sec, започват да се търкалят две пренебрежимо малки топчета. При достигане до другия край на диагонала, всяко топче се връща обратно и това се повтаря многократно. След колко секунди най-рано разстоянието между тях няма да надвишава 1 cm?

в) По диагоналите на правоъгълника, от точката A и от точката B, съответно със скорости V1=1 cm/sec и V2=1,8 cm/sec, започват да се търкалят две пренебрежимо малки топчета. При достигане до другия край на диагонала, всяко топче се връща обратно и това се повтаря многократно. След колко секунди най-рано разстоянието между тях няма да надвишава 1 cm?