Задача 1

Вярно е, че

Задача 2

Намерете лицето на сечението на двата правилни петоъгълника.

Задача 3

За коя стойност на параметъра a най-малката стойност на функцията f(x)=ax²-37x+121 е 14 с точност до цялата част?

Задача 4

Даден е триъгълник ABC и точката E (виж фигурата). Точката М се движи по контура на триъгълника ABC. Намерете дължината на пътя, който изминава средата на отсечката EM при пълно обхождане от точката M на контура на триъгълника.

Задача 5

От триъгълник ABC трябва да се изреже правоъгълник с максимално лице. Намерете лицето на правоъгълника, ако A(3;0), B(12;3) и C(0;5).

Задача 6

Дадена е билярдната маса с форма на правилен шестоъгълник ABCDEF (виж фигурата). В точката G(5;7) е разположена билярдна топка, която може да бъде „изстрелвана“ в различни посоки. При достигане до дадена страна, топката се отразява от нея по обичайния начин - под какъвто ъгъл топката отива към страната, под такъв ъгъл тя се отдалечава от нея. Към коя точка Х от страната AB следва да насочим билярдната топка, ако искаме след последователно отразяване от страните AB и СD топката да попадне в точката E?

Задача 7

Дадена е отсечка MN с дължина 8,7 cm. Намерете най-голямата дължина на отсечката AB, ако точката A се намира на разстояние 5,4 cm от точката M, точката B се намира на разстояние 7,2 cm от точката N и отсечката MN се вижда от точката A под ъгъл 42 градуса.

Задача 8. Страните на правоъгълник ABCD са съответно AB=4 сm и AD=3 cm.

а) По диагоналите на правоъгълника, от точката A и от точката B, съответно със скорости V1=1 cm/sec и V2=7 cm/sec, започват да се търкалят две пренебрежимо малки топчета. При достигане до другия край на диагонала, всяко топче се връща обратно и това се повтаря многократно. След колко секунди най-рано двете топчета ще се срещнат (ударят)?

б) По диагоналите на правоъгълника, от точката A и от точката B, съответно със скорости V1=1 cm/sec и V2=3,4 cm/sec, започват да се търкалят две пренебрежимо малки топчета. При достигане до другия край на диагонала, всяко топче се връща обратно и това се повтаря многократно. След колко секунди най-рано разстоянието между тях няма да надвишава 1 cm?

в) По диагоналите на правоъгълника, от точката A и от точката B, съответно със скорости V1=1 cm/sec и V2=1,6 cm/sec, започват да се търкалят две пренебрежимо малки топчета. При достигане до другия край на диагонала, всяко топче се връща обратно и това се повтаря многократно. След колко секунди най-рано разстоянието между тях няма да надвишава 0,3 cm?